Comportement hygro-mécanique pour une lame de parquet multi-couche rainurée à une seule essence.

Étape 1. Le modèle hygro-mécanique.

Nous observons les déformations d'un panneau sous l'effet de variation de la teneur en humidité. Le modèle physique est basé sur des équations de conservations et un certains nombre d'hypothèses permettant de préciser les équations régissant le phénomène à l'étude:

Équation de diffusion pour l'humidité (en 3D et instationnaire).
Équation quasi-statique (la composante inertielle est négligée) de l'élasticité linéaire (l'hypothèse des petites perturbations est retenue).
Puisque le modèle élastique est linéaire le matériau suit une loi de Hooke ce qui donne la forme de la relation entre les dilatations et l'humidité.

Pour la diffusion de l'humidité M:

Pour les déplacements U, en petites perturbations, le tenseur des déformations s'écrit

La loi de comportement, c'est-à-dire la relation entre le tenseur des déformations et le tenseurs des contraintes étant une loi de Hooke avec un couplage hydrique (on utilise la convention des indices répétés)

et finalement puisque l'on à pas de charge volumique externe et que l'on suppose un phénomène quasi-statique l'équation pour les déplacements est

Le système n'est pas complet sans la donnée des condtions initiales des variables d'états M et U et les conditions limites qui leurs sont appliquées. Au début du processus on suppose que les panneaux sont à l'équilibre avec une teneur en humidité connue:

A cela on ajoute des conditions aux bords:

- échange hydrique sur la face supérieure seulement. Ce qui se traduit par

sur la face supérieure

- pièce en appui libre (free standing): les déformations du panneau ne peuvent faire en sorte de déformer le support sur lequel le panneau est posée; il n'y a pas de pénétration du panneau dans le support. Supposant que le support en question est un plan horizontal qui détermine l'origine de l'axe des z on aura comme condition au bords mécanique

sur la face inférieure

Avec cette condition notre problème devient un problème de contact. Il est clair que pour résoudre de tels problèmes le traitement habituel est innaproprié. En fait on utilisera une méthode de gradient conjugué projeté pour résoudre le problème d'optimisation sousjacent au problème de contact.

Étape 2. Les propriétés hydrique et mécanique des composantes.

Les lames considérées sont composées de plusieures couches d'une seule essence de bois collées ensemble. Nous aurons donc deux matériaux à décrire, le bois et la colle. On voudra, pour chacun de ces matériaux, leurs propriétés hydrique et mécanique: tenseur de diffusion effectif, densité, modules de Young etc.

Nous avons utilisé les valeurs suivantes pour les calculs:

	Érable	Colle
db	5.97	15
K_L	1.31e-8	1.e-15
K_R	(1e-10)(8.4(M<=5) +(M>5)(M<6.15)(1.1 - 6.3478(M-6.15))+(M>=6.15)1.1)
K_T	(1e-10)(8.4(M<=5) +(M>5)(M<6.15)(1.1 - 6.3478(M-6.15))+(M>=6.15)1.1)
h	3.2e-4
M₀	8.
M_ambiant	5(t>5184000.)+12(t<=5184000.)
E_L	13.81	10
E_R	1.31
E_T	0.678
v_TL	0.025	0.35
v_TR	0.43
v_LR	0.46
G_TL	0.753	E/2(1+v) = 3.703703704
G_TR	0.255
G_LR	1.013
B_L	1.8e-4 (1.5e-4)	1.9e-2
B_R	1.9e-3 (2.1e-3)
B_T	2.8e-3 (3.3e-3)
U₀	(0,0,0)
¾₀	0 (tensoriel)

Il existe aussi une version "Siau" des propirétés: tableau des propriétés, variante Siau

Étape 3. Les différentes lames.

On va considérer différents scénarios pour ce qui est de la dispositions et le nombre de rainure: rainures longitudinales, transversales, différentes profondeurs et différents espacements entre les rainures.

Voici les maillages utilisés sous le format AMDBA (coordonées/connectivité). Exemple m2r0047.amdba est le maillage de la lame avec 2 rainures longitudinales de 0.0047 m de profondeur au format amdba et le maillage m3rt002.amdba est un maillage amdba pour une lame avec 3 rainures transversales de 0.002 m de profondeur

	1 mm	2 mm	4.7 mm
1 rainure	m1r001.amdba	m1r002.amdba	m1r0047.amdba
2 rainures / 41 mm centre à centre	m2r001.amdba	m2r002.amdba	m2r0047.amdba
3 rainures / 30.75 mm centre à centre	m3r001.amdba	m3r002.amdba	m3r0047.amdba
4 rainures/ 24.6 mm centre à centre	m4r001.amdba	m4r002.amdba	m4r0047.amdba
5 rainures/ 20.5 mm centre à centre	m5r001.amdba	m5r002.amdba	m5r0047.amdba

	1 mm	2 mm	4.7 mm
1 rainure / 300 mm centre à centre *	m1rt001.amdba	m1rt002.amdba	m1rt0047.amdba
2 rainures / 150 mm centre à centre	m2rt001.amdba	m2rt002.amdba	m2rt0047.amdba
3 rainures / 100 mm centre à centre	m3rt001.amdba	m3rt002.amdba	m3rt0047.amdba
10 rainures / 30 mm centre à centre	m10rt001.amdba	m10rt002.amdba	m10rt0047.amdba

* C'est à cause de la symétrie que l'on peut parler de distance centre à centre pour ce cas qui ne comprend qu'une seule rainure dans le maillage.

Quelques illustrations pour les maillages à:

images/m1r001.jpg                                 images/m1r001_zoom.jpg

images/m3r002_couleur.jpg               images/m3r002_nb.jpg                   images/m3r002_zoom.jpg

images/m3rt0047_couleur.jpg               images/m3rt0047_nb.jpg                   images/m3rt0047_zoom.jpg

Étape 4. Numérique

Le code utilisé pour résoudre est celui-ci. Il s'agit d'un code faisant la résolution hydrique avec, à chaque pas de temps, la résolution mécanique en post-traitement. Le problème mécanique est résolu de façon non-incrémentale. Celà veut dire qu'à chaque pas de temps on considère l'équilibre par rapport à la solution initiale, par opposition à la méthode incrémentale où on résoud à chaque pas de temps l'équilibre par rapport à l'état au pas précédent (donnant un incrément aux déplacements). Cette méthode est plus simple à implémenter (on a pas à calculer les contraintes initiales à chaque pas de temps). Il y a trois éléments à considérer pour la résolution de la composante mécanique en incrémentale ou en non-incrémentale

Les contraintes et déplacements initiaux sont nulles.
Les propriétés mécanique (module de Young, cisaillement, etc) sont constantes dans le temps (simplifie les contraintes initiales dans le cas incrémental)
On impose un calcul de l'humidité et des déplacements à tous les points de discontinuités dans le temps.

Un template du fichier champs pour ces valeurs se trouve ici. Pour la variante Siau c'est ici.

Pour obtenir le min et le max des déplacements verticaux on utilise le code min_max.cc et pour l'évaluation en certains points on utilise le code evalueXYZ.cc

Étape 5. Résultats

On a choisi un pas de temps variable adapté au comportement de l'humidité. Le pas de temps initial est de 1 seconde et il ne peut être inférieur à 0.005 sec. et supérieur à 100000 sec.

profondeur des rainures longitudinales	rainures	Évolution dans le temps U_z (Pt3) - U_z(Pt1)	Tableau <temps> <U_z (0.0,0.06,0.0094)> <U_z(0.0,0.0,0.0094)>
1 mm	1	images/pt3pt1_1mm.jpg	pt3pt1_data/pt3pt1_m1r001.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2r001.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3r001.data
	4		pt3pt1_data/pt3pt1_m4r001.data
	5		pt3pt1_data/pt3pt1_m5r001.data
2 mm	1	images/pt3pt1_2mm.jpg	pt3pt1_data/pt3pt1_m1r002.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2r002.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3r002.data
	4		pt3pt1_data/pt3pt1_m4r002.data
	5		pt3pt1_data/pt3pt1_m5r002.data
4.7 mm	1	images/pt3pt1_47mm.jpg	pt3pt1_data/pt3pt1_m1r0047.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2r0047.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3r0047.data
	4		pt3pt1_data/pt3pt1_m4r0047.data
	5		pt3pt1_data/pt3pt1_m5r0047.data

Profondeur des rainures transversales	rainures	Évolution dans le temps U_z (Pt3) - U_z(Pt1)	Tableau <temps> <U_z (0.15,0.06,0.0094)> <U_z(0.15,0.0,0.0094)>	Valeurs des déplacements verticaux au dessus de la rainure centrale (voir l'illustration plus haut pour l'explication)
1 mm	1	images/pt3pt1t_1mm.jpg images/delta_1mm	pt3pt1_data/pt3pt1_m1rt001.data	rainure_delta_data/delta_m1rt001.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2rt001.data	rainure_delta_data/delta_m2rt001.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3rt001.data	rainure_delta_data/delta_m3rt001.data
	10		pt3pt1_data/pt3pt1_m10rt001.data	rainure_delta_data/delta_m10rt001.data
2 mm	1	images/pt3pt1t_2mm.jpg images/delta_2mm.jpg	pt3pt1_data/pt3pt1_m1rt002.data	rainure_delta_data/delta_m1rt002.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2rt002.data	rainure_delta_data/delta_m2rt002.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3rt002.data	rainure_delta_data/delta_m3rt002.data
	10		pt3pt1_data/pt3pt1_m10rt002.data	rainure_delta_data/delta_m10rt002.data
4.7 mm	1	images/pt3pt1t_47mm.jpg images/delta_4.7mm.jpg	pt3pt1_data/pt3pt1_m1rt0047.data	rainure_delta_data/delta_m1rt0047.data
	2		pt3pt1_data/pt3pt1_m2rt0047.data	rainure_delta_data/delta_m2rt0047.data
	3		pt3pt1_data/pt3pt1_m3rt0047.data	rainure_delta_data/delta_m3rt0047.data
	10		pt3pt1_data/pt3pt1_m10rt0047.data	rainure_delta_data/delta_m10rt0047.data

Profile d' humidité

Voici les profiles en humidité après 1, 10, 20, 30, 40, 50 et 60 jours. Rappel de la géométrie:

La couche de finition va de 7.9 mm à 9.4 mm, la première couche interrmédiaire de 5.8 mm à 7.8 mm la deuxième couche intermédiaire de 3.7 mm à 5.7 mm
la troisième couche intermédiaire de 1.6 mm à 3.6 mm et la "semelle" de 0 mm à 1.5 mm.

profile_humidite/profile_1jour.data
profile_humidite/profile_10jour.data
profile_humidite/profile_20jour.data
profile_humidite/profile_30jour.data
profile_humidite/profile_40jour.data
profile_humidite/profile_50jour.data
profile_humidite/profile_60jour.data