Résultats relatif au probleme MDF + papier 

Calibrage du tenseur de dilatation.



On utilise un modèle qui simplifie le processus de polymérisation en supposant que la contraction de volume qui lui est associée s'apparente à une force appliquée. On modifiera donc les équations que l'on à utilisés jusqu'ici supposant que le tenseur ßT que l'on rattachait à une dilatation thermique est plutôt un tenseur de contraction du à la polymérisation.

On a des valeurs expérimentales de dilatation pour les papiers. Il s'agit maintenant de voir comment ces valeurs se "transforment" en tenseur ßT .

Les valeurs

Nous avons comme valeurs:

PD80 + O461
 B80
temps
10 sec
 20 sec
MD
 0.71% (0.00866 m)
 0.99%  (0.01207 m)
CD
 0.99% (0.00604 m)
 0.93%  (0.00567 m)

temps
 10 sec
 20 sec
MD
 0.76% (0.00927 m)
 0.84% (0.01024 m)
CD
0.96% (0.00585 m)
 1.22% (0.00744 m)

J'ai mis entre parenthèses les valeurs absolues de contraction sur deux des côtés (par symétrie on a la même contraction sur le coté opposé) d'un panneau  de  4' x  8'  (1.219202 m X 2.438404 m).

ATTENTION. Avec la présence du papier il nous faut aussi introduire un repère puisque les propriétés ne sont plus isotropes. Plus précisément il nous faut définir le sens machine MD et sa perpendiculaire CD. On a fixé pour la suite le sens machine comme étant parallèle à l'axe des Y et la direction CD parallèle à l'axe des X.


 Largeur (X) (m)
 Longueur (Y) (m)
 Epaisseur (Z) (m)
PD80+O461
 0.609601
 1.219202
 0.00034
MDF
 0.609601 1.219202 0.007
B80
 0.609601 1.219202 0.00034

Pour calibrer le tenseur on essaie de reproduire numériquement le test qui est utilisé pour obtenir les résultats du tableau précédent. J'ai exploité pour cela le plus possible les résultats de labo.


 PD80+O461
 B80
 MDF
densité:rho
  940 kg/m3  (0)
 730 kg/m3  (1)
 800 kg/m3
Équation en T

CT  -> J/(Kg C)
KT -> J/(m sec C) 		CT=1.2 CTMDF          (4)
KT= KTMDF-0.008       (4)
 CT=1.2 CTMDF          (4)
KT= KTMDF-0.008       (4)

 CTMDF=1000*(0.1031+0.003867(T+273.15)+0.042M)/(1+0.01M)  (2)
KT = KTMDF=(rho/1000)*(0.217+0.0038M)+0.024                           (3)

Équation en M

CM -> %-1

KM -> Kg/(m sec %)




            voir MDF     -->



  
         voir MDF  -->
  CM=0.01
 [KM]x = [KM]y= 0  [KM]z = KMMDF avec

KMMDF= KM0
 M <= 6.6
KMMDF= KM0 + (KM1-KM0)*(M-6.6)/(9-6.6)
 6.6 <= M <= 9
KMMDF= KM1
 M <= 9
 KTM = 0.1*KM

 KM0 = 8.0e-10 KM1= 8.0e-11                          (5)
Équation en U
E -> Pa
BM-> %-1
(6)
EMD = 8.075e9    t<= 10 sec 
EMD = 6.088e9    t > 10 sec 
ECD = 7.006e9    t<= 10 sec
ECD = 5.208e9    t > 10 sec 
Ez = 0.01 EMD    (8)

ßM = ßMMDF --->
(7)
EMD = 1e9(6.59 -1.58 e-0.3676t)
ECD = EMD -  0.7e9            
Ez = 0.01 EMD                 (8)



ßM = ßMMDF --->

 [EMDF]x = [EMDF]y  = E1   [EMDF]z = E3 avec pour i=1 et 3

Ei= Ei0
 M <= 6.6
Ei= Ei0 + (Ei1-Ei0)*(M-6.6)/(9-6.6)
 6.6 <= M <= 9
Ei= Ei1
 M <= 9

 E10 = 2.2e9, E11 = 1.9e9, E30 = 6.1e7, E31 = 4.4e7    (5)

[ßM]x = [ßM]y = ß1    [ßM]z = ß3  avec pour i = 1 et 3

ßi  = BMi0        dM/dt >= 0
ßi  = BMi1        dM/dt < 0
BM10 = 3.6e-4, BM11 = 7.7e-4, BM30 = 8.4e-3, BM31 = 9.5e-3 (5)

[ßT]x = [ßT]y =  [ßT]z = 0 

 



Cond. Initiales
 Cond. Limites 0 <= t <= 21
 Cond. Limites 21 <  t
T  (C)
 T0 = 20
   T = TPr  sur \[ \Gamma_h \] et \[ \Gamma_b \]   TPr = 180 
  qT = hT(T-Ta)  sur \[ \Gamma_h \], \[ \Gamma_b \] et sur la rive
 Ta = 20, hT = -5.                                             (9)
M (%)
 M0 = 10   qM= hM(M-Ma)    sur la rive   Ma = 10  qM= hM(M-Ma)   sur \[ \Gamma_h \], \[ \Gamma_b \] et sur la rive 
 Ma = 10 hM = -3.2e-5                                     (5)
U (m)
U0 = (0,0,0)     s0 = 0 (tensoriel)   \[ \sigma_n = P \]  = P*n sur \[ \Gamma_h \]    Uz = 0 sur \[ \Gamma_b \]
 P = 3.5e6 t
0<= t <= 1
 P= 3.5e6
 1 <= M <= 20
 P= 3.5e6 (21-t)
 20<= t <= 21
+ conditions de symétrie
  Uz >= 0 sur \[ \Gamma_b \]
+ conditions de symétrie


(0) Moyenne  grammage/épaisseur pour PD80 et O461 rapport du 31 déc. (0.19 mm et 0.15 mm respectivement).
(1) Grammage/épaisseur rapport du 31 déc. (0.35 mm)
(2) Cette définition vient du chapitre 3 de "Forest Products Laboratory." 1999. Wood handbook--Wood as an engineering material. Gen. Tech. Rep. FPL-GTR-113. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory. 463 p.
http://www.fpl.fs.fed.us/documnts/fplgtr/fplgtr113/fplgtr113.htm
(3) e-mail de l'an passé.
(4) On fait l'hypothèse que la chaleur spécifique du papier est supérieure à celle du MDF mais que la diffusion elle est inférieure (mais toujours linéaire par rapport à M).
(5) valeurs obtenues par Ganev pour le MDF (article no. 4, table 2).
(6) On suppose que le MOE est constant par morceau avec les valeurs du rapport du 31 déc.
(7) Interpolation construite à partir des valeurs du rapport du 31 déc. pour le MOE
(8) Basé sur "Mechanical properties in the thickness direction of paper and paperboard" Niclas Stenberg, thèse à Department of Solid Mechanics, Royal Institute of Technology Stockholm, Suède: http://www.fpirc.kth.se/Download/Niclas_Stenberg_99.pdf
(9) "Inspiré" de "Experimental Determination of Convective Heat and Mass Transfer Coefficients During Wood Drying" M. Nabhani, C. Tremblay et Y. Fortin, 8th International IUFRO Wood Drying Conference - 2003

REMARQUE: On ne s'interesse qu'a avoir des paramètres dont les ordres de grandeurs soient réalistes. La précision n'est pas ce qu'on recherche.

Essais avec valeurs constantes/non-constantes.

J'ai fait deux séries de calcul d'abord avec les valeurs présentées au tableau puis en utilisant des valeurs constantes pour tout les coefficients. Pour les valeurs constantes j'ai fixe T à 100 et M à 10 dans les calculs de CTMDF et KTMDF .  Je n'ai pas observé de différences notables dans les résultats entre les deux calculs. Puisque je suis intéressé par l'ordre de grandeur plutot que la précision je garde les valeurs obtenues dans le cas non-constant qui donnent des contractions légérement inférieures lorsqu'elles sont utilisées avec les coefficients constants.

Il s'agit, avec les valeurs du tableau précédent, de déterminer les valeurs du tenseur ßT . On suppose que le tenseur n'a pas de composante dans l'épaisseur et qu'il se ramène à une paire de composantes dans le plan XY, soit [ßT]x et  [ßT]y. Pour obtenir la valeurs de ces composantes on part des valeurs relatives de contraction obtenues en laboratoire et on cherche les valeurs de 8 multiplicateurs BTXO(0,1), BTYO(0,1), BTXB(0,1) et BTYB(0,1) permettant d'obtenir des résultats numériques qui coincident avec les valeurs de laboratoire pour 10 et 20 secondes. On suppose pour le moment que le tenseur est constants sur les intervalles de temps [0,10] et ]10,21] et on pose


 PD80+O461 B80
[ßT]x BTXO0*0.99*(t<=10)+BTXO1*0.93*(t>10)
 BTXB0*0.96*(t<=10) +BTXB1*1.22*(t>10)
[ßT]y BTYO0*0.71*(t<=10)+BTYO1*0.99*(t>10)
 BTYB0*0.76 + BTYB1*0.84*(t>10)

Et on procède au calcul des déplacements. Pour obtenir numériquement les valeurs de contraction observées en laboratoire on a du posé:

BTXO0 = -2.6293706293706e-05 = -0.000094*0.27972027972028 = -(rho/1000)*(0.27972027972028/100)*(1/100)
BTXO1 = -6.2666666666667e-06 = -0.000094*0.06666666666666 = -(rho/1000)*(0.06666666666666/100)*(1/100)
BTYO0 = -2.8059701492537e-05 = -0.000094*0.29850746268657 = -(rho/1000)*(0.29850746268657/100)*(1/100)
BTYO1 = -3.2413793103448e-05 = -0.000094*0.3448275862069   = -(rho/1000)*(0.3448275862069/100)*(1/100)
BTXB0 = -2.6071428571429e-05  = -0.000073*0.35714285714286 = -(rho/1000)*(0.35714285714286/100)*(1/100)
BTXB1 = -1.3518518518519e-05  = -0.000073*0.18518518518519 = -(rho/1000)*(0.18518518518519/100)*(1/100)
BTYB0 = -2.5840707964602e-05  = -0.000073*0.35398230088496 = -(rho/1000)*(0.35398230088496/100)*(1/100)
BTYB1 = -4.2941176470588e-06  = -0.000073*0.05882352941176 = -(rho/1000)*(0.14285714285714/100)*(1/100)

Notons que ces valeurs ont été obtenues par tatonnements.

contraction PD80+O461

contraction dans les direction MD (déplacement UY) et CD (déplacement UX) pour le papier finition
contraction B80

contraction dans les direction MD (déplacement UY) et CD (déplacement UX) pour le papier contre-balancement B80.